Matematyka - szkoła średnia - Zmiany w podstawie programowej - Nowa podstawa programowa 2024

Treści nauczania - wymagania szczegółowe

I. LICZBY RZECZYWISTE

ZAKRES PODSTAWOWY. Uczeń:

1. wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych;
2. przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia nie trudniejsze niż: np.:
   a) dowód podzielność przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych;
   b) dowód własność: że jeśli liczba przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3, to jej trzecia potęga przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2.
   ZMIANA NA:
   dowód własność: że jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej.
3. stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych;
4. stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach;
5. stosuje własności monotoniczności potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1, to ax < ay, zaś gdy x < y < 0 < 1, to ax > ay ;
6. posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej;
7. stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania i nierówności typu: |x+4|=5 ,|x −2|<3, |x +3|≥4;
8. wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów;
9. stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi;

---

ZAKRES ROZSZERZONY.
Uczeń spełnia wymagania określona dla zakresu podstawowego, a ponadto:

1. stosuje wzór na zamianę podstawy logarytmu;

---

II. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

ZAKRES PODSTAWOWY. Uczeń:

1. stosuje wzory skróconego mnożenia na:
   
   Oznaczenie: (przeniesione do zakresu rozszerzonego)
2. dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych;
   
3. wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej;
4. rozkłada wielomiany na czynniki metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias oraz metodą grupowania wyrazów, w przypadkach nie trudniejszych niż rozkład wielomianu:
   
   (przeniesione do zakresu rozszerzonego)
   
5. znajduje pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych;
6. dzieli wielomian jednej zmiennej W(x) przez dwumian postaci x-a;
7. mnoży i dzieli wyrażenia wymierne;
   ZMIANA NUMERACJI:
   4) mnoży i dzieli wyrażenia wymierne;
8. dodaje i odejmuje wyrażenia wymierne, w przypadkach nie trudniejszych niż:
   
   (przeniesione do zakresu rozszerzonego)
   

---

ZAKRES ROZSZERZONY.
Uczeń spełnia wymagania określona dla zakresu podstawowego, a ponadto:

1. dzieli wielomian jednej zmiennej W(x) przez dwumian postaci x-a;
   (przeniesione z zakresu podstawowego)
2. rozkłada wielomiany na czynniki metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias oraz metodą grupowania wyrazów;
   (przeniesione z zakresu podstawowego)
   
3. znajduje pierwiastki całkowite i wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych;
4. stosuje podstawowe własności trójkąta Pascala oraz następujące własności współczynnika dwumianowego (symbolu Newtona):
   
   
5. korzysta ze wzorów na:
   
   (przeniesione z zakresu podstawowego)
   
6. dodaje i odejmuje wyrażenia wymierne, w przypadkach nie trudniejszych niż:
   
   (przeniesione z zakresu podstawowego)
   

---

III. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

ZAKRES PODSTAWOWY. Uczeń:

1. przekształca równania i nierówności w sposób równoważny;
   ZMIANA NA:
   przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie
   
2. interpretuje równania i nierówności sprzeczne oraz tożsamościowe;
   
3. rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą;
4. rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe;
5. rozwiązuje równania wielomianowe, które dają się doprowadzić do równania kwadratowego, w szczególności równania dwukwadratowe;
   (przeniesione do zakresu rozszerzonego)
6. rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x)=0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;
7. rozwiązuje równania wymierne postaci
   
   gdzie wielomiany V(x) i W(x) są zapisane w postaci iloczynowej;
   (przeniesione do zakresu rozszerzonego)

---

ZAKRES ROZSZERZONY.
Uczeń spełnia wymagania określona dla zakresu podstawowego, a ponadto:

1. rozwiązuje nierówności wielomianowe typu: W(x) > 0, W(x) ≥ 0, W(x) < 0, W(x) ≤ 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;
2. rozwiązuje równania i nierówności wymierne nie trudniejsze niż

ZMIANA NA:
rozwiązuje równania i nierówności wymierne, które dadzą się sprowadzić do równania lub nierówności liniowej lub kwadratowej;
3. stosuje wzory Viète’a dla równań kwadratowych;
   
4. rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną; o stopniu trudności nie większym niż:
   2|x+3|+3|x – 1| = 13, |x + 2| + 2|x – 3| < 1
5. analizuje równania i nierówności liniowe z parametrami oraz równania i nierówności kwadratowe z parametrami, w szczególności wyznacza liczbę rozwiązań w zależności od parametrów, podaje warunki, przy których rozwiązania mają żądaną własność, i wyznacza rozwiązania w zależności od parametrów;
6. rozwiązuje równania wielomianowe, które dają się doprowadzić do równania kwadratowego, w szczególności równania dwukwadratowe;
   (przeniesione z zakresu podstawowego)
7. rozwiązuje równania wymierne postaci
   
   gdzie wielomiany V(x) i W(x) są zapisane w postaci iloczynowej;
   (przeniesione z zakresu podstawowego)

---

IV. UKŁADY RÓWNAŃ

ZAKRES PODSTAWOWY. Uczeń:

1. rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych;
2. stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych;
3. rozwiązuje metodą podstawiania układy równań, z których jedno jest liniowe, a drugie kwadratowe, postaci:
   
   

---

ZAKRES ROZSZERZONY.
Uczeń spełnia wymagania określona dla zakresu podstawowego, a ponadto:

1. rozwiązuje układy równań kwadratowych postaci:
   
   ZMIANA NA:
   rozwiązuje układy równań liniowych i kwadratowych z dwiema niewiadomymi, które można sprowadzić do równania kwadratowego lub liniowego, a które nie są trudniejsze niż:
   

---

V. FUNKCJE

ZAKRES PODSTAWOWY. Uczeń:

1. określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach);
2. oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym;
3. odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie;
4. odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane;
5. interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej;
6. wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach, szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem;
7. szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem;
8. interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje);
9. wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie;
10. wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym;
11. wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym;
12. na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji: y = f(x – a), y = f(x) + b; y = - f(x), y = f( - x) (przeniesione do zakresu rozszerzonego);
13. posługuje się funkcją f(x)=a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych;
14. posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi

---

ZAKRES ROZSZERZONY.
Uczeń spełnia wymagania określona dla zakresu podstawowego, a ponadto:

1. na podstawie wykresu funkcji y = f(x) rysuje wykres funkcji y = |f(x)|; y = - f(x), y = f(- x) (przeniesione z zakresu podstawowego);
2. posługuje się złożeniami funkcji;
3. dowodzi monotoniczności funkcji zadanej wzorem, jak w przykładzie:
   wykaż, że funkcja f(x)=(x-1)/(x+2) jest monotoniczna w przedziale (-∞,-2);

---

VI. CIĄGI

ZAKRES PODSTAWOWY. Uczeń:

1. oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym
2. oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie, jak w przykładach:
   
   
3. w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący;
4. sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;
5. stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego;
6. stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego;
7. wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym;

---

ZAKRES ROZSZERZONY.
Uczeń spełnia wymagania określona dla zakresu podstawowego, a ponadto:

1. oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu  oraz twierdzeń o granicach sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych, a także twierdzenia o trzech ciągach
2. rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę

---

VII. TRYGONOMETRIA

ZAKRES PODSTAWOWY. Uczeń:

1. wykorzystuje definicje funkcji: sinus, kosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°;
2. znajduje przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych, korzystając z tablic lub kalkulatora;
3. znajduje za pomocą tablic lub kalkulatora przybliżoną wartość kąta, jeśli dana jest wartość funkcji trygonometrycznej;
4. korzysta z wzorów: 
5. stosuje twierdzenia sinusów i kosinusów oraz wzór na pole trójkąta: 
6. oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty);
   ZMIANA NA:
   oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych);

---

ZAKRES ROZSZERZONY.
Uczeń spełnia wymagania określona dla zakresu podstawowego, a ponadto:

1. stosuje miarę łukową, zamienia miarę łukową kąta na stopniową i odwrotnie;
2. posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych: sinus, kosinus, tangens;
3. wykorzystuje okresowość funkcji trygonometrycznych;
4. stosuje wzory redukcyjne dla funkcji trygonometrycznych;
5. korzysta z wzorów na sinus, kosinus i tangens sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych;
6. rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne o stopniu trudności nie większym niż w przykładach:
   ;
7. stosuje twierdzenie sinusów (przeniesiono z zakresu podstawowego);
8. oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty) (przeniesione z zakresu podstawowego);

---

VIII. PLANIMETRIA

ZAKRES PODSTAWOWY. Uczeń:

1. wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;
2. rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok;
3. rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności;
4. korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach;
5. stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;
6. stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu;
7. stosuje twierdzenia: Talesa, odwrotne do twierdzenia Talesa (przeniesione do zakresu rozszerzonego), o dwusiecznej kąta oraz o kącie między styczną a cięciwą;
8. korzysta z cech podobieństwa trójkątów;
9. wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych;
10. wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności;
11. stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur;
12. przeprowadza dowody geometryczne;

---

ZAKRES ROZSZERZONY.
Uczeń spełnia wymagania określona dla zakresu podstawowego, a ponadto:

1. stosuje własności czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu;
2. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa (przeniesione z zakresu podstawowego);

---

IX. GEOMETRIA ANALITYCZNA NA PŁASZCZYŹNIE KARTEZJAŃSKIEJ

ZAKRES PODSTAWOWY. Uczeń:

1. rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje;
2. posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość lub prostopadłość do innej prostej, styczność do okręgu (przeniesione do zakresu rozszerzonego));
3. oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych;
4. posługuje się równaniem okręgu
   ;
5. oblicza odległość punktu od prostej (przeniesione do zakresu rozszerzonego);
6. znajduje punkty wspólne prostej i okręgu (przeniesione do zakresu rozszerzonego) oraz prostej i paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej ;
7. wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych);

---

ZAKRES ROZSZERZONY.
Uczeń spełnia wymagania określona dla zakresu podstawowego, a ponadto:

1. stosuje równanie okręgu w postaci ogólnej;
2. znajduje punkty wspólne prostej i okręgu (przeniesione z zakresu podstawowego);
3. znajduje punkty wspólne dwóch okręgów;
4. zna pojęcie wektora i oblicza jego współrzędne oraz długość, dodaje wektory i mnoży wektor przez liczbę, oba te działania wykonuje zarówno analitycznie, jak i geometrycznie;
5. wyznacza równanie prostej prostopadłej do zadanej prostej i stycznej do zadanego okręgu (przeniesione z zakresu podstawowego);

---

X. STEREOMETRIA

ZAKRES PODSTAWOWY. Uczeń:

1. rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się;
2. posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami;
3. rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów;
4. rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów;
5. określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną;
6. oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń;
7. wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych;

---

ZAKRES ROZSZERZONY.
Uczeń spełnia wymagania określona dla zakresu podstawowego, a ponadto:

1. zna i stosuje twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny i o trzech prostopadłych;
2. wyznacza przekroje sześcianu i ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich pola, także z wykorzystaniem trygonometrii;

---

XI. KOMBINATORYKA

ZAKRES PODSTAWOWY. Uczeń:

1. zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych
2. zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności w sytuacjach nie trudniejszych niż:
3. obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2;
4. obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1;

---

ZAKRES ROZSZERZONY.
Uczeń spełnia wymagania określona dla zakresu podstawowego, a ponadto:

1. oblicza liczbę możliwych sytuacji, spełniających określone kryteria, z wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji, również w przypadkach wymagających rozważenia złożonego modelu zliczania elementów;
2. stosuje współczynnik dwumianowy (symbol Newtona) i jego własności przy rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.

---

XII. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA

ZAKRES PODSTAWOWY. Uczeń:

1. oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym;
2. stosuje skalę centylową;
3. oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę;
4. oblicza odchylenie standardowe zestawu danych (także w przypadku danych odpowiednio pogrupowanych), interpretuje ten parametr dla danych empirycznych;
5. oblicza wartość oczekiwaną, np. przy ustalaniu wysokości wygranej w prostych grach losowych i loteriach;

---

ZAKRES ROZSZERZONY.
Uczeń spełnia wymagania określona dla zakresu podstawowego, a ponadto:

1. oblicza prawdopodobieństwo warunkowe i stosuje wzór Bayesa, stosuje twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym;
2. stosuje schemat Bernoullego.

---

XIII. OPTYMALIZACJA I RACHUNEK RÓŻNICZKOWY

ZAKRES PODSTAWOWY. Uczeń:

1. rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową;

---

ZAKRES ROZSZERZONY.
Uczeń spełnia wymagania określona dla zakresu podstawowego, a ponadto:

1. oblicza granice funkcji (w tym jednostronne);
2. stosuje własność Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji i znajdowania przybliżonej wartości miejsca zerowego;
3. stosuje definicję pochodnej funkcji, podaje interpretację geometryczną i fizyczną pochodnej;
4. oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej;
5. stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji;
6. rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.

---

Przygotowanie do matury 2025 - nowy nabór:

• Kursy maturalne z biologii - Matura 2025
• Kursy maturalne z chemii - Matura 2025
• Kursy maturalne z matematyki - Matura 2025
• Kursy maturalne z fizyki - Matura 2025
• Kursy maturalne z języka polskiego - Matura 2025
• Kursy maturalne z języka angielskiego  - Matura 2025

Przygotowanie do matury 2026 - nowy nabór:

• Kursy maturalne z biologii - Matura 2026
• Kursy maturalne z chemii - Matura 2026
• Kursy maturalne z matematyki - Matura 2026
• Kursy maturalne z fizyki - Matura 2026

Przygotowanie do Egzaminu Ósmoklasisty 2025 - nowy nabór:

• Kurs Ósmoklasisty z matematyki - E8 2025
  
• Kurs Ósmoklasisty z języka polskiego - E8 2025
• Kurs Ósmoklasisty z języka angielskiego  - E8 2025

---

Odwiedź nasze kanały w mediach społecznościowych